Funktioteoria

From Primayk

(Redirected from Kompleksiluvut)
Jump to: navigation, search

Fraktaaleja koskeva Power Point ei valitettavasti suostu latautumaan primaykiin. Kyselkää Villeltä, jos haluatte sen. --Ville

Olen yrittänyt kerätä tähän joitain kompleksilukujen alkeita tiivistettynä. Jos ymmärrät merkinnät, voi olla parempi kokeilla näitä: http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf, http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf. -- Make

[edit] Kompleksilukujen perusasiat

  • Kompleksiluku on reaalilukupari (x,y), ja se voidaan samaistaa tason pisteen kanssa. Reaaliosa (x) kertoo pisteen x-koordinaatin ja imaginääriosa (y) kertoo y-koordinaatin.
  • Kompleksiluvut (x,y) ja (x',y') ovat samat, jos ne ovat sama piste; x-koordinaatit ovat samat ja y-koordinaatit ovat samat, x=x' ja y=y'
  • Kompleksiluvuille ei ole määritelty suuruusjärjestystä.
  • Kompleksiluvuille on määritelty yhteenlasku samalla tavalla kuin vektoreille: (x,y) + (x',y') = (x + x',y + y'). Reaaliosat lasketaan yhteen ja imaginääriosat lasketaan yhteen.
  • Kompleksiluvun kertominen toisella saattaa näyttää aluksi hiukan omituiselta: (x,y) * (x',y') = (x'x − y'y,x'y + y'x).
  • Vähennyslasku on myös määritelty samoin kuin vektoreilla: (x,y) − (x',y') = (x,y) + ( − 1) * (x',y') = (x − x',y − y').
  • Voidaan osoittaa, että kompleksiluvut muotoa (x,0) käyttäytyvät täysin samoin kuin reaaliluvut. Voidaan samaistaa (x,0) = x (reaaliluku).
  • Kompleksiluvun kertominen reaalivakiolla: a * (x,y) = (a,0) * (x,y) = (ax − 0y,0x + ay) = (ax,ay). Siis reaaliosa ja imaginääriosa kerrotaan molemmat samalla vakiolla.
  • Kompleksiluvulle (0,1) annetaan erityisnimi: i = (0,1). Erityisesti: i2 = (0,1) * (0,1) = (0 * 0 − 1 * 1,0 * 1 + 0 * 1) = ( − 1,0) = − 1.
  • Muodostuu uusi tapa ilmaista kompleksilukuja: (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + y * (0,1) = x + yi.
  • Tämä selittää kompleksilukujen kertolaskusäännön: (a,b) * (c,d) = (a + bi) * (c + di) = ac + bci + adi + i2bd = ac − bd + i(bc + ad) = (ac − bd,bc + ad) Kompleksiluvuilla lasketaan siis aivan samoin kuin reaaliluvuilla, kunhan muistetaan, että i2 = − 1.


[edit] Napakoordinaattimuoto

  • Tason pisteellä z = (x,y) on esitys z = (x,y) = (rcosα,rsinα), jossa r on pisteen etäisyys origosta: r = |z| = \sqrt{x^2+y^2} ja α on kompleksiluvun argumentti \in ]-\pi, \pi]. Siis z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin{\alpha}).
  • Polaarimuodossa olevat kompleksiluvut ovat samat, kun niiden pituudet ovat samat, ja kulmat, argumentit ovat samat.
  • Kerrotaan kaksi polaarimuotoista kompleksilukua keskenään:

r1(cosα1 + isinα1) * r2(cosα2 + isinα2) = r1r2(cosα1cosα2 − sinα1sinα2 + i(sinα1cosα2 + sinα2cosα1)) = r1r2(cos(α1 + α2) + isin(α1 + α2))

  • Kompleksilukujen tulossa siis uusi pituus on vanhojen tulo, ja uusi kulma on vanhojen summa.


  • Määritellään eksponenttifunktio kompleksiluvusta: ez = ex + iy = ex(cosy + isiny). Voidaan osoittaa, että näin määritelty eksponenttifunktio toteuttaa samat eksponenttifunktion laskusäännöt kuin reaalilukujen eksponenttifunktio. Saadaan Eulerin kaava eix = cosx + isinx.
  • Näin ollen napakoordinaattiesitys saa muodon z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin {\alpha}) = r e^{i \alpha}.
  • On huomattava, että e^z = e^{x+yi} = e^x e^{yi} = e^x (\cos {y} + i \sin {y}) = e^x (\cos{(y+2n\pi)} + i \sin{(y+2n\pi)}) = e^x e^{iy + i 2n\pi} = e^{z + i 2n\pi}\ kokonaisluvuille n.
  • De Moivren kaavaksi kutsutaan laskusääntöä (\cos x + i \sin x)^n = \cos{nx} + i \sin{nx}\ eli (e^{ix})^n = e^{inx}\ , jolla lasketaan myös kompleksilukujen juuret:
  • Kompleksiluvun n:s juuri on moniarvoinen, ja se ratkaistaan yhtälöstä zn = w. Jos z = r1eiφ ja w = r2eiα, tehtäväksi jää etsiä yhtälön r_1^n e^{i n \phi} = r_2 e^{i \alpha} juuret, joita on n kappaletta, ja jotka saa kaivettua polaarimuodossa olevien kompleksilukujen yhtäsuuruusehdosta. (nφ = α + k2π)


Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)

Retrieved from "http://primayk.mayk.fi/wiki/Funktioteoria"
Personal tools