Funktioteoria - Muutoshistoria

Petrus Asikainen: luokka

2015-08-22T13:09:44Z

luokka

2014-08-23T08:35:33Z

Itseasiassa

2014-08-23T08:34:14Z

2008-11-20T13:04:06Z

2007-11-14T16:04:21Z

‎Napakoordinaattimuoto: typon korjaus: .. -> .

2006-12-15T20:35:32Z

Tarkempi perustelu samastukseen

2006-06-14T21:30:19Z

2006-06-14T21:29:40Z

2006-06-14T21:29:00Z

2006-06-14T21:25:12Z

← Vanhempi versio		Versio 22. elokuuta 2015 kello 13.09
Rivi 56:		Rivi 56:

	Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)		Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)
		+
		+	[[Luokka:Matematiikka]]

← Vanhempi versio		Versio 23. elokuuta 2014 kello 08.35
Rivi 1:		Rivi 1:
−	Fraktaaleja koskeva Power Point ei valitettavasti suostu latautumaan primaykiin. [~~[Keskustelu käyttäjästä~~:~~Ville Tilvis\|~~Kyselkää Villeltä]],	+	Fraktaaleja koskeva Power Point ei valitettavasti suostu latautumaan primaykiin. [http://primayk.mayk.fi/index.php?title=Keskustelu_k%C3%A4ytt%C3%A4j%C3%A4st%C3%A4:Ville_Tilvis&action=edit&section=new Kyselkää Villeltä].
	jos haluatte sen. --[[Ville Tilvis\|Ville]]		jos haluatte sen. --[[Ville Tilvis\|Ville]]

← Vanhempi versio		Versio 23. elokuuta 2014 kello 08.34
Rivi 1:		Rivi 1:
−	Fraktaaleja koskeva Power Point ei valitettavasti suostu latautumaan primaykiin. Kyselkää Villeltä,	+	Fraktaaleja koskeva Power Point ei valitettavasti suostu latautumaan primaykiin. [[Keskustelu käyttäjästä:Ville Tilvis\|Kyselkää Villeltä]],
	jos haluatte sen. --[[Ville Tilvis\|Ville]]		jos haluatte sen. --[[Ville Tilvis\|Ville]]

← Vanhempi versio		Versio 20. marraskuuta 2008 kello 13.04
Rivi 1:		Rivi 1:
		+	Fraktaaleja koskeva Power Point ei valitettavasti suostu latautumaan primaykiin. Kyselkää Villeltä,
		+	jos haluatte sen. --[[Ville Tilvis\|Ville]]
		+
	Olen yrittänyt kerätä tähän joitain kompleksilukujen alkeita tiivistettynä. Jos ymmärrät merkinnät, voi olla parempi kokeilla näitä: [http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf], [http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf]. -- [[Markus Kettunen\|Make]]		Olen yrittänyt kerätä tähän joitain kompleksilukujen alkeita tiivistettynä. Jos ymmärrät merkinnät, voi olla parempi kokeilla näitä: [http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf], [http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf]. -- [[Markus Kettunen\|Make]]

@@ Rivi 31: / Rivi 31: @@
 * Tason pisteellä <math>z = (x,y)</math> on esitys <math>z = (x,y) = (r \cos{\alpha}, r \sin{\alpha})</math>, jossa r on pisteen etäisyys origosta: <math>r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> ja <math>\alpha</math> on kompleksiluvun ''argumentti'' <math> \in ]-\pi, \pi]</math>. Siis <math>z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin{\alpha})</math>.
-* ''Polaarimuodossa'' olevat kompleksiluvut ovat samat, kun niiden pituudet ovat samat, ja kulmat, ''argumentit'' ovat samat..
+* ''Polaarimuodossa'' olevat kompleksiluvut ovat samat, kun niiden pituudet ovat samat, ja kulmat, ''argumentit'' ovat samat.
 * Kerrotaan kaksi ''polaarimuotoista'' kompleksilukua keskenään:

@@ Rivi 16: / Rivi 16: @@
 * Vähennyslasku on myös määritelty samoin kuin vektoreilla: <math>(x,y) - (x',y') = (x,y) + (-1)*(x',y') = (x-x', y-y')</math>.
-* Määritelmästä voidaan osoittaa, että kompleksiluvuilla muotoa <math>(x,0)</math> pätevät [[reaalilukujen aksioomat]], joten voidaan samaistaa <math>(x,0) = x</math> (reaaliluku).
+* Voidaan osoittaa, että kompleksiluvut muotoa <math>(x,0)</math> käyttäytyvät täysin samoin kuin reaaliluvut. Voidaan samaistaa <math>(x,0) = x</math> (reaaliluku).
 * Kompleksiluvun kertominen reaalivakiolla: <math>a*(x,y) = (a,0)*(x,y) = (ax-0y,0x+ay) = (ax, ay)</math>. Siis reaaliosa ja imaginääriosa kerrotaan molemmat samalla vakiolla.

← Vanhempi versio		Versio 14. kesäkuuta 2006 kello 21.30
Rivi 52:		Rivi 52:


−	Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)~~</math>~~	+	Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)

@@ Rivi 49: / Rivi 49: @@
 * ''De Moivren kaavaksi'' kutsutaan laskusääntöä <math>(\cos x + i \sin x)^n = \cos{nx} + i \sin{nx}\ </math> eli <math>(e^{ix})^n = e^{inx}\ </math>, jolla lasketaan myös kompleksilukujen juuret:
-* Kompleksiluvun n:s juuri on moniarvoinen, ja se ratkaistaan yhtälöstä <math>z^n = w</math>. Jos <math>z = r_1 e^{i \phi}</math> ja <math>w = r_2 e^{i \alpha}</math>, tehtäväksi jää etsiä yhtälön <math>r_1^n e^{i n \phi} = r_2 e^{i \alpha}</math> juuret, joita on n kappaletta, ja jotka saa kaivettua polaarimuodossa olevien kompleksilukujen yhtäsuuruusehdosta. (<math>n \phi = \alpha + k 2\pi</math)
+* Kompleksiluvun n:s juuri on moniarvoinen, ja se ratkaistaan yhtälöstä <math>z^n = w</math>. Jos <math>z = r_1 e^{i \phi}</math> ja <math>w = r_2 e^{i \alpha}</math>, tehtäväksi jää etsiä yhtälön <math>r_1^n e^{i n \phi} = r_2 e^{i \alpha}</math> juuret, joita on n kappaletta, ja jotka saa kaivettua polaarimuodossa olevien kompleksilukujen yhtäsuuruusehdosta. (<math>n \phi = \alpha + k 2\pi</math>)
 Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)</math>

@@ Rivi 36: / Rivi 36: @@
 <math>r_1 (\cos{\alpha_1} + i \sin{\alpha_1}) * r_2 (\cos{\alpha_2} + i \sin{\alpha_2})</math>
 <math>= r_1 r_2 (\cos{\alpha_1}\cos{\alpha_2} - \sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2} + i( \sin{\alpha_1}\cos{\alpha_2} + \sin{\alpha_2}\cos{\alpha_1}))</math>
-<math>= r_1 r_2 (\cos{\alpha_1 + \alpha_2} + i \sin {\alpha_1 + \alpha_2}) </math>
+<math>= r_1 r_2 (\cos{(\alpha_1 + \alpha_2)} + i \sin {(\alpha_1 + \alpha_2)}) </math>
 * Kompleksilukujen tulossa siis uusi pituus on vanhojen tulo, ja uusi kulma on vanhojen summa.