Sivujen muokkaaminen vaatii nykyään kirjautumisen. Jos sinulla ei vielä ole tunnuksia, luo sellaiset.
Ero sivun ”Funktioteoria” versioiden välillä
Primayk
(jotain kappalejakoa) |
(Lisää stuffaa ja järjestelyä. Vesalaisen linkit lisätty.) |
||
| Rivi 1: | Rivi 1: | ||
| + | Olen yrittänyt kerätä tähän joitain kompleksilukujen alkeita tiivistettynä. Jos ymmärrät merkinnät, voi olla parempi kokeilla näitä: [http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf], [http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf]. -- [[Markus Kettunen|Make]] | ||
| + | |||
== Kompleksilukujen perusasiat == | == Kompleksilukujen perusasiat == | ||
| − | Kompleksiluku on reaalilukupari <math>(x,y)</math> | + | * Kompleksiluku on reaalilukupari <math>(x,y)</math>, ja se voidaan samaistaa tason pisteen kanssa. Reaaliosa (x) kertoo pisteen x-koordinaatin ja imaginääriosa (y) kertoo y-koordinaatin. |
| − | Kompleksiluvut (x,y) ja ( | + | * Kompleksiluvut (x,y) ja (x',y') ovat samat, jos ne ovat sama piste; x-koordinaatit ovat samat ja y-koordinaatit ovat samat, x=x' ja y=y' |
| − | Kompleksiluvuille ei ole määritelty suuruusjärjestystä. | + | * Kompleksiluvuille ei ole määritelty suuruusjärjestystä. |
| + | * Kompleksiluvuille on määritelty yhteenlasku samalla tavalla kuin vektoreille: <math>(x,y) + (x',y') = (x+x', y+y')</math>. Reaaliosat lasketaan yhteen ja imaginääriosat lasketaan yhteen. | ||
| − | + | * Kompleksiluvun kertominen toisella saattaa näyttää aluksi hiukan omituiselta: <math>(x,y) * (x',y') = (x' x - y' y, x' y + y' x)</math>. | |
| − | Vähennyslasku on myös määritelty samoin kuin vektoreilla: <math>(x,y) - ( | + | * Vähennyslasku on myös määritelty samoin kuin vektoreilla: <math>(x,y) - (x',y') = (x,y) + (-1)*(x',y') = (x-x', y-y')</math>. |
| + | * Määritelmästä voidaan osoittaa, että kompleksiluvuilla muotoa <math>(x,0)</math> pätevät [[reaalilukujen aksioomat]], joten voidaan samaistaa <math>(x,0) = x</math> (reaaliluku). | ||
| − | Kompleksiluvun kertominen | + | * Kompleksiluvun kertominen reaalivakiolla: <math>a*(x,y) = (a,0)*(x,y) = (ax-0y,0x+ay) = (ax, ay)</math>. Siis reaaliosa ja imaginääriosa kerrotaan molemmat samalla vakiolla. |
| − | + | * Kompleksiluvulle <math>(0,1)</math> annetaan erityisnimi: <math>i = (0,1)</math>. Erityisesti: <math>i^2 = (0,1)*(0,1) = (0*0-1*1, 0*1+0*1) = (-1, 0) = -1</math>. | |
| − | + | * Muodostuu uusi tapa ilmaista kompleksilukuja: <math>(x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + y*(0,1) = x + yi</math>. | |
| + | * Tämä selittää kompleksilukujen kertolaskusäännön: <math>(a,b)*(c,d) = (a+bi)*(c+di) = ac+bci+adi+i^2bd = ac-bd + i(bc+ad) = (ac-bd, bc+ad)</math> Kompleksiluvuilla lasketaan siis aivan samoin kuin reaaliluvuilla, kunhan muistetaan, että <math>i^2 = -1</math>. | ||
| − | |||
| − | + | === Napakoordinaattimuoto === | |
| − | + | * Tason pisteellä <math>z = (x,y)</math> on esitys <math>z = (x,y) = (r*\cos{\alpha}, r*\sin{\alpha})</math>, jossa r on pisteen etäisyys origosta: <math>r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> ja <math>\alpha</math> on kompleksiluvun ''argumentti'' <math> \in ]-\pi, \pi]</math>. Siis <math>z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin{\alpha})</math>. | |
| + | * ''Polaarimuodossa'' olevat kompleksiluvut ovat samat, kun niiden itseisarvot ovat samat, ja kulmat, ''argumentit'' ovat samat.</math>. | ||
| + | * Kerrotaan kaksi ''polaarimuotoista'' kompleksilukua keskenään: | ||
| + | <math>r_1 (\cos{\alpha_1} + i \sin{\alpha_1}) * r_2 (\cos{\alpha_2} + i \sin{\alpha_2})</math> | ||
| + | <math>= r_1 r_2 (\cos{\alpha_1}\cos{\alpha_2} - \sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2} + i( \sin{\alpha_1}\cos{\alpha_2} + \sin{\alpha_2}\cos{\alpha_1}))</math> | ||
| + | <math>= r_1 r_2 (\cos{\alpha_1 + \alpha_2} + i \sin {\alpha_1 + \alpha_2}) </math> | ||
| − | + | * Kompleksilukujen tulossa siis uusi pituus on vanhojen tulo, ja uusi kulma on vanhojen summa. | |
| − | |||
| − | Määritellään eksponenttifunktio kompleksiluvusta: <math>e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos{y} + i \sin{y})</math>. Voidaan osoittaa, että näin määritelty eksponenttifunktio toteuttaa samat eksponenttifunktion laskusäännöt kuin reaalilukujen eksponenttifunktio. Saadaan ''Eulerin kaava'' <math>e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x}</math>. | + | * Määritellään eksponenttifunktio kompleksiluvusta: <math>e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos{y} + i \sin{y})</math>. Voidaan osoittaa, että näin määritelty eksponenttifunktio toteuttaa samat eksponenttifunktion laskusäännöt kuin reaalilukujen eksponenttifunktio. Saadaan ''Eulerin kaava'' <math>e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x}</math>. |
| − | Näin ollen | + | * Näin ollen napakoordinaattiesitys saa muodon <math>z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin {\alpha}) = r e^{i \alpha}</math>. |
| + | * On huomattava, että <math>e^z = e^{x+yi} = e^x e^{yi} = e^x (\cos {y} + i \sin {y}) = e^x (\cos{(y+2n\pi)} + i \sin{(y+2n\pi)}) = e^x e^{iy + i 2n\pi} = e^{z + i 2n\pi}\ </math> kokonaisluvuille n. | ||
| − | ''De Moivren kaavaksi'' kutsutaan laskusääntöä <math>(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx | + | * ''De Moivren kaavaksi'' kutsutaan laskusääntöä <math>(\cos x + i \sin x)^n = \cos{nx} + i \sin{nx}\ </math> eli <math>(e^{ix})^n = e^{inx}\ </math>, jolla lasketaan myös kompleksilukujen juuret: |
| − | + | * Kompleksiluvun n:s juuri on moniarvoinen, ja se ratkaistaan yhtälöstä <math>z^n = w</math>. Jos <math>z = r_1 e^{i \phi}</math> ja <math>w = r_2 e^{i \alpha}</math>, tehtäväksi jää etsiä yhtälön <math>r_1^n (\cos{n\phi} + i \sin{n\phi}) = r_2 (\cos{\alpha} + i sin{\alpha})</math> juuret, joita on n kappaletta. | |
Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :) | Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :) | ||
Versio 14. kesäkuuta 2006 kello 20.02
Olen yrittänyt kerätä tähän joitain kompleksilukujen alkeita tiivistettynä. Jos ymmärrät merkinnät, voi olla parempi kokeilla näitä: http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf, http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf. -- Make
Kompleksilukujen perusasiat
- Kompleksiluku on reaalilukupari $ (x,y) $, ja se voidaan samaistaa tason pisteen kanssa. Reaaliosa (x) kertoo pisteen x-koordinaatin ja imaginääriosa (y) kertoo y-koordinaatin.
- Kompleksiluvut (x,y) ja (x',y') ovat samat, jos ne ovat sama piste; x-koordinaatit ovat samat ja y-koordinaatit ovat samat, x=x' ja y=y'
- Kompleksiluvuille ei ole määritelty suuruusjärjestystä.
- Kompleksiluvuille on määritelty yhteenlasku samalla tavalla kuin vektoreille: $ (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y') $. Reaaliosat lasketaan yhteen ja imaginääriosat lasketaan yhteen.
- Kompleksiluvun kertominen toisella saattaa näyttää aluksi hiukan omituiselta: $ (x,y) * (x',y') = (x' x - y' y, x' y + y' x) $.
- Vähennyslasku on myös määritelty samoin kuin vektoreilla: $ (x,y) - (x',y') = (x,y) + (-1)*(x',y') = (x-x', y-y') $.
- Määritelmästä voidaan osoittaa, että kompleksiluvuilla muotoa $ (x,0) $ pätevät reaalilukujen aksioomat, joten voidaan samaistaa $ (x,0) = x $ (reaaliluku).
- Kompleksiluvun kertominen reaalivakiolla: $ a*(x,y) = (a,0)*(x,y) = (ax-0y,0x+ay) = (ax, ay) $. Siis reaaliosa ja imaginääriosa kerrotaan molemmat samalla vakiolla.
- Kompleksiluvulle $ (0,1) $ annetaan erityisnimi: $ i = (0,1) $. Erityisesti: $ i^2 = (0,1)*(0,1) = (0*0-1*1, 0*1+0*1) = (-1, 0) = -1 $.
- Muodostuu uusi tapa ilmaista kompleksilukuja: $ (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + y*(0,1) = x + yi $.
- Tämä selittää kompleksilukujen kertolaskusäännön: $ (a,b)*(c,d) = (a+bi)*(c+di) = ac+bci+adi+i^2bd = ac-bd + i(bc+ad) = (ac-bd, bc+ad) $ Kompleksiluvuilla lasketaan siis aivan samoin kuin reaaliluvuilla, kunhan muistetaan, että $ i^2 = -1 $.
Napakoordinaattimuoto
- Tason pisteellä $ z = (x,y) $ on esitys $ z = (x,y) = (r*\cos{\alpha}, r*\sin{\alpha}) $, jossa r on pisteen etäisyys origosta: $ r = |z| = \sqrt{x^2+y^2} $ ja $ \alpha $ on kompleksiluvun argumentti $ \in ]-\pi, \pi] $. Siis $ z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin{\alpha}) $.
- Polaarimuodossa olevat kompleksiluvut ovat samat, kun niiden itseisarvot ovat samat, ja kulmat, argumentit ovat samat.</math>.
- Kerrotaan kaksi polaarimuotoista kompleksilukua keskenään:
$ r_1 (\cos{\alpha_1} + i \sin{\alpha_1}) * r_2 (\cos{\alpha_2} + i \sin{\alpha_2}) $ $ = r_1 r_2 (\cos{\alpha_1}\cos{\alpha_2} - \sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2} + i( \sin{\alpha_1}\cos{\alpha_2} + \sin{\alpha_2}\cos{\alpha_1})) $ $ = r_1 r_2 (\cos{\alpha_1 + \alpha_2} + i \sin {\alpha_1 + \alpha_2}) $
- Kompleksilukujen tulossa siis uusi pituus on vanhojen tulo, ja uusi kulma on vanhojen summa.
- Määritellään eksponenttifunktio kompleksiluvusta: $ e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos{y} + i \sin{y}) $. Voidaan osoittaa, että näin määritelty eksponenttifunktio toteuttaa samat eksponenttifunktion laskusäännöt kuin reaalilukujen eksponenttifunktio. Saadaan Eulerin kaava $ e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x} $.
- Näin ollen napakoordinaattiesitys saa muodon $ z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin {\alpha}) = r e^{i \alpha} $.
- On huomattava, että $ e^z = e^{x+yi} = e^x e^{yi} = e^x (\cos {y} + i \sin {y}) = e^x (\cos{(y+2n\pi)} + i \sin{(y+2n\pi)}) = e^x e^{iy + i 2n\pi} = e^{z + i 2n\pi}\ $ kokonaisluvuille n.
- De Moivren kaavaksi kutsutaan laskusääntöä $ (\cos x + i \sin x)^n = \cos{nx} + i \sin{nx}\ $ eli $ (e^{ix})^n = e^{inx}\ $, jolla lasketaan myös kompleksilukujen juuret:
- Kompleksiluvun n:s juuri on moniarvoinen, ja se ratkaistaan yhtälöstä $ z^n = w $. Jos $ z = r_1 e^{i \phi} $ ja $ w = r_2 e^{i \alpha} $, tehtäväksi jää etsiä yhtälön $ r_1^n (\cos{n\phi} + i \sin{n\phi}) = r_2 (\cos{\alpha} + i sin{\alpha}) $ juuret, joita on n kappaletta.
Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)
