Sivujen muokkaaminen vaatii nykyään kirjautumisen. Jos sinulla ei vielä ole tunnuksia, luo sellaiset.

Ero sivun ”Pizzakisa” versioiden välillä

Primayk
Loikkaa: valikkoon, hakuun
(jaariteltu jotain käsittämätöntä)
(kaavojen siistiminen on hauskaa ":D")
 
Rivi 7: Rivi 7:
 
Jokainen joukkue saa yhtä paljon pizzaa kuin kaikki huonommin menestyneet ja tuomarit yhteensä. Siten pizzan suhteellinen määrä joukkuetta kohden saadaan kaavasta:
 
Jokainen joukkue saa yhtä paljon pizzaa kuin kaikki huonommin menestyneet ja tuomarit yhteensä. Siten pizzan suhteellinen määrä joukkuetta kohden saadaan kaavasta:
  
−
<math>\operatorname{P}_r(s,m) = \begin{cases}
+
<math>\operatorname{P_r}(s,m) = \begin{cases}
−
1 + \sum\limits_{i=s + 1}^{m} \operatorname{P}(i,m) & \qquad s < m \\
+
1 + \sum\limits_{i=s + 1}^{m} \operatorname{P_r}(i,m) & \qquad s < m \\
 
1 & \qquad s = m
 
1 & \qquad s = m
 
\end{cases}</math>
 
\end{cases}</math>
Rivi 14: Rivi 14:
 
missä <math>s</math> on joukkueen sijoitus väliltä <math>[1,m]</math> ja <math>m</math> joukkueiden määrä, olettaen että tuomarit saavat saman verran pizzaa kuin huonoiten menestynyt joukkue. Absoluuttinen pizzan määrä joukkueelle on silloin
 
missä <math>s</math> on joukkueen sijoitus väliltä <math>[1,m]</math> ja <math>m</math> joukkueiden määrä, olettaen että tuomarit saavat saman verran pizzaa kuin huonoiten menestynyt joukkue. Absoluuttinen pizzan määrä joukkueelle on silloin
  
−
<math>\operatorname{P}_a(s,m) = {\frac{P_r(s,m)}_{1 + \sum\limits_{i=1}^{m} P(i,m)}} \times P_{kok}</math>
+
<math>\operatorname{P_a}(s,m) = {\frac{\operatorname{P_r}(s,m)}{1 + \sum\limits_{i=1}^{m} \operatorname{P_r}(i,m)}} \times \operatorname{P_{kok}}</math>
  
−
missä <math>P_{kok}</math> on pizzan kokonaismäärä.
+
missä <math>\operatorname{P_{kok}}</math> on pizzan kokonaismäärä.
  
 
On havaittava, että pizzan suhteellinen määrä huonoiten suoriutuneesta joukkueesta alkaen on geometrinen sarja:
 
On havaittava, että pizzan suhteellinen määrä huonoiten suoriutuneesta joukkueesta alkaen on geometrinen sarja:
  
−
<math>P_r(m,m) = 1 \\
+
<math>\operatorname{P_r}(m,m) = 1 \\
−
P_r(m - 1,m) = 2 \\
+
\operatorname{P_r}(m - 1,m) = 2 \\
−
P_r(m - 2,m) = 4 \\
+
\operatorname{P_r}(m - 2,m) = 4 \\
−
P_r(m - 3,m) = 8 \\
+
\operatorname{P_r}(m - 3,m) = 8 \\
−
P_r(m - 4,m) = 16</math>
+
\operatorname{P_r}(m - 4,m) = 16</math>
  
 
Siten pizzan suhteellisten määrien summa on  
 
Siten pizzan suhteellisten määrien summa on  
  
−
<math>1 + \sum\limits_{i=1}^{m} P(i,m) = 1 + \sum\limits_{i=1}^{m} 2^{i-1}</math>
+
<math>1 + \sum\limits_{i=1}^{m} \operatorname{P_r}(i,m) = 1 + \sum\limits_{i=1}^{m} 2^{i-1}</math>
  
 
ja pizzan absoluuttisen määrän yhtälö voidaan yksinkertaistaa muotoon
 
ja pizzan absoluuttisen määrän yhtälö voidaan yksinkertaistaa muotoon
  
−
<math>\operatorname{P}_a(s,m) = {\frac{2^{m-s}}{1 + \sum\limits_{i=1}^{m} 2^{i-1}}} \times P_{kok} = {\frac{2^{m-s}}{2^m}} \times P_{kok} = \frac{P_{kok}}{2^s}</math>
+
<math>\operatorname{P_a}(s,m) = {\frac{2^{m-s}}{1 + \sum\limits_{i=1}^{m} 2^{i-1}}} \times \operatorname{P_{kok}} = {\frac{2^{m-s}}{2^m}} \times \operatorname{P_{kok}} = \frac{\operatorname{P_{kok}}}{2^s}</math>
  
 
Voidaan vielä jättää pois <math>m</math>, jolloin saadaan pizzan määrän lopullinen kaava
 
Voidaan vielä jättää pois <math>m</math>, jolloin saadaan pizzan määrän lopullinen kaava
  
−
<math>\operatorname{P}_a(s) = \frac{P_{kok}}{2^s}</math>
+
<math>\operatorname{P_a}(s) = \frac{\operatorname{P_{kok}}}{2^s}</math>
  
 
== Pizzakisan tuloksia ==
 
== Pizzakisan tuloksia ==

Nykyinen versio 8. toukokuuta 2015 kello 13.22

Pizzakisa on perinteinen matematiikan yössä järjestettävä joukkuekilpailu, jossa jokainen osallistuja palkitaan suuremmalla tai pienemmällä palalla pizzaa, sijoituksesta riippuen.

On huomattavaa, että jokainen joukkue saa yhtä paljon pizzaa kuin kaikki huonommin menestyneet ja tuomarit yhteensä.

Palkintopizzan määrä

Jokainen joukkue saa yhtä paljon pizzaa kuin kaikki huonommin menestyneet ja tuomarit yhteensä. Siten pizzan suhteellinen määrä joukkuetta kohden saadaan kaavasta:

$ \operatorname{P_r}(s,m) = \begin{cases} 1 + \sum\limits_{i=s + 1}^{m} \operatorname{P_r}(i,m) & \qquad s < m \\ 1 & \qquad s = m \end{cases} $

missä $ s $ on joukkueen sijoitus väliltä $ [1,m] $ ja $ m $ joukkueiden määrä, olettaen että tuomarit saavat saman verran pizzaa kuin huonoiten menestynyt joukkue. Absoluuttinen pizzan määrä joukkueelle on silloin

$ \operatorname{P_a}(s,m) = {\frac{\operatorname{P_r}(s,m)}{1 + \sum\limits_{i=1}^{m} \operatorname{P_r}(i,m)}} \times \operatorname{P_{kok}} $

missä $ \operatorname{P_{kok}} $ on pizzan kokonaismäärä.

On havaittava, että pizzan suhteellinen määrä huonoiten suoriutuneesta joukkueesta alkaen on geometrinen sarja:

$ \operatorname{P_r}(m,m) = 1 \\ \operatorname{P_r}(m - 1,m) = 2 \\ \operatorname{P_r}(m - 2,m) = 4 \\ \operatorname{P_r}(m - 3,m) = 8 \\ \operatorname{P_r}(m - 4,m) = 16 $

Siten pizzan suhteellisten määrien summa on

$ 1 + \sum\limits_{i=1}^{m} \operatorname{P_r}(i,m) = 1 + \sum\limits_{i=1}^{m} 2^{i-1} $

ja pizzan absoluuttisen määrän yhtälö voidaan yksinkertaistaa muotoon

$ \operatorname{P_a}(s,m) = {\frac{2^{m-s}}{1 + \sum\limits_{i=1}^{m} 2^{i-1}}} \times \operatorname{P_{kok}} = {\frac{2^{m-s}}{2^m}} \times \operatorname{P_{kok}} = \frac{\operatorname{P_{kok}}}{2^s} $

Voidaan vielä jättää pois $ m $, jolloin saadaan pizzan määrän lopullinen kaava

$ \operatorname{P_a}(s) = \frac{\operatorname{P_{kok}}}{2^s} $

Pizzakisan tuloksia

Haettu osoitteesta https://primayk.mayk.fi/w/index.php?title=Pizzakisa&oldid=8714