Ero sivun ”Matematiikkamaanantain ohjelmaa” versioiden välillä

Versio 8. lokakuuta 2006 kello 19.40

Tähän on koottu päiväkirjamaisesti matematiikkamaanantaiden ohjelmaa. Jos haluat kysyä tai lisätä jotakin, kirjoita vapaasti kysymys oikean päivän loppuun.

==== Lukujärjestelmät ==== Maanantai 21.8.

Käsittelimme eri kantaluvut, erityisesti kolmi-, seitsen- ja parijärjestelmän.

Näin parijärjestelmä nimetään:

Esimerkiksi: 11 111 010 luetaan "pariyksi kunea nelipariyksi kasia pari". [1]

==== Harppi ja viivain -geometriaa ==== Maanantai 28.8.

Perusteet

• janan siirto, kulman siirto
• normaalin piirtäminen, janan puolitus, kulman puolitus, suorakulmainen kolmio, neliö
• kuusikulmio, ympyrän keskipisteen löytäminen

Säännöllisen viisikulmion piirtäminen

• janan jakaminen kolmeen osaan
• janan jakaminen moneen osaan
• kulman jakaminen kolmeen osaan (mahdotonta!)

Asiasta hieman lisää suomeksi

Hieman teknistä kamaa suomalaisesta Wikipediasta

Englantilaisen Wikipedian artikkeli, todistusten runkoja

Janoilla laskeminen

• Yhteen- ja vähennyslasku
• Kerto- ja jakolasku
• Neliöjuuri

Kikkailua

Ruostunut harppi:

• Janan puolitus, normaali
• Kulman puolitus
• Janan siirto suoraa pitkin
• Janan siirto yleisesti

Kotiin mietittäväksi jäi:

• Janan siirtäminen toiselle suoralle viivottimella ja ruostuneella harpilla
• Kahden kaukaisen pisteen yhdistäminen harpilla ja lyhyellä viivaimella

==== Laskentoa I ==== Maanantai 4.9.

Laskettiin yksinkertaisia laskuja ja seurattiin virheiden määrää.

Tunnin opetus oli, että monivaiheisen laskun virheetön suoritus vaatii rautaista rutiinia. Jos laskussa on noin 20 välivaihetta (= kohtaa, jossa voi munata), niin suoritusvarmuuden täytyy olla todella korkea hyvän lopputulkosen varmistamiseksi.

$ 0.9^{20} \approx 0.12 $

$ 0.95^{20} \approx 0.36 $

$ 0.98^{20} \approx 0.67 $

$ 0.99^{20} \approx 0.82 $

$ 0.995^{20} \approx 0.90 $

$ 0.998^{20} \approx 0.96 $

90 prosentin suoritusvarmuus saavutetaan siis vasta, kun virheitä tulee keskimäärin alle yksi kahdessasadassa välivaiheessa.

==== Kompleksilukujen alkeet ==== Maanantai 11.9.

Määriteltiin kompleksiluvut reaalilukuparina $ (x,y) $ ja todettiin, että kompleksilukuja voidaan ajatella tason pisteinä, joiden koordinaatit ovat kyseiset x ja y.

Määtiteltiin yhteenlasku:

$ (x_1,y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) $.

Todettiin, että kompleksiluvut voidaan koordinaattien x ja y sijasta ilmaista myös sijaintija origosta (r) ja kulmana x-akselista ($ \phi $). Saatiin siis uusi merkitsemistapa

$ (x, y) = [r, \phi] $.

Määriteltiin kertolasku:

$ [r_1, \phi_1] \cdot [r_2, \phi_2] = [r_1 \cdot r_2, \phi_1+\phi_2] $.

Todettiin, että luvut muotoa $ (x,0) $ käyttäytyvät yhteen- ja kertolaskun suhteen täsmälleen savoin kuin reaaliluvut. Siispä tehtiin samastus

$ (x, 0) \equiv x $, x reaaliluku.

Todettiin, että

$ (0,1)^2 = (-1,0) = -1 $.

Annettiin tälle kompleksiluvulle nimi i:

$ i \equiv (0,1) $.

Havaittiin, että kompleksiluku $ (x,y) $. voidaan kirjoittaa muodossa

$ (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0)+ (0,1) \cdot (y,0) = x + iy $.

Saatiin siis yleisin tapa esittää kompleksiluvut:

$ (x, y) = x+iy $.

Kun vedetään hihasta (tämän todistaminen vaatii trigonometriaa) tieto siitä, että komplkeiluvut noudattavat osittelulakia $ z_1(z_2+z_3) = z_1z_2+z_1z_3 $, saadaan

$ (x_1+iy_1)(x_2+iy_2) = x_1x_2 + ix_1y_2 + ix_2y_1 + i^2y_1y_2 = x_1x_2-y_1y_2 +i(x_1y_2+x_2y_1) $.

Näinollen kertolasku lasketaan koordinaattimuodossa

$ (x_1,y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1) $.

Jätän nyt sovellutukset pois (saa vapaasti lisätä), joten siinä se oli. Tämän määrittelyn voisi tehdä vähän toisessakin järjestyksessä ja paljon jäi puuttumaan. Tähän voi vapaasti laittaa kysymyksiä.

Primaykissa on myös vajaa artikkeli kompleksiluvuista, joka tosin ei missään määrin ole kelvollista oppimateriaalia, mutta saattaa soveltua alkeiden pikakertaukseen (ylittää tämän materiaalin vähän). Eli oikeastaan tätä mainintaa ei tavallaan pitäisi olla tässä. Artikkeli sisältää suurin piirtein vanhan opetussuunnitelman analyysin kurssin kompleksilukuosion lyhennelmän. Esitietovaatimuksena sinin ja kosinin summakaavat sekä eksponenttifunktion laskusääntöjen tunteminen. -- Make

==== Induktiotodistus ==== Maanantai 18.9.

Käsittelimme ensin todistamisen yleisiä periaatteita. Todistuksi on kolmea päätyyppiä:

• Suora todistus (määritelmät -> lauseet)
• Epäsuora todistus (vastaoletus -> ristiriita)
• Induktiotodistus (Todistetaan lauma väitteitä siten, että jos väite k on tosi, myös väite k + 1 on tosi.)

Induktiotodistukseen palataan myöhemmin.

==== Laskentoa II ==== Maanantai 25.9.

Laskettiin kurssin 1 liittyviä ylioppilastehtäviä ja vanhoja matematiikkakilpailutehtäviä.

==== Kompleksiluvut II ==== Maanantai 2.10.

Yleisön pyynnöstä tunti pidettiin koeviikollakin. Kerrattiin kompleksilukuja ja edettiin jonkin verran. Puhetta oli myös polynomien teoriasta kompleksilukujen avulla. Algebran peruslause (jokaisella polynomilla on ainakin yksi (mahdollisesti kompleksinen) nollakohta) mainittiin.

==== Kilpailumatematiikkaa ==== Maanantai 9.10.

Valmistaudutaan lukion matematiikkakilpailuun esimerkein ja ratkomalla vanhoja kilpailutehtäviä.

==== Matriisilaskenta I ==== Maanantai 16.10.

Matriisilaskenta alkaa.