Funktioteoria

Kompleksilukujen perusasiat

Kompleksiluku on reaalilukupari $ (x,y) $ (järjestyksellä on merkitystä) siinä missä tason pisteet ja vektoritkin. Onkin täysin korrektia ja suositeltavaa ajatella kompleksilukuja tason pisteinä siinä missä reaalilukuja lukusuoran pisteinä. Reaaliosa (x) kertoo pisteen x-koordinaatin ja imaginääriosa (y) kertoo y-koordinaatin.

Kompleksiluvut (x,y) ja (u,v) ovat samat, (x,y) = (u,v) jos ja vain jos niiden reaaliosat ovat samat ja imaginääriosat ovat samat, x=u ja y=v. (Pisteiden x-koordinaatit ovat samat ja y-koordinaatit ovat samat).

Kompleksiluvuille ei ole määritelty suuruusjärjestystä.

Kompleksiluvuille on määritelty yhteenlasku seuraavasti: $ (x,y) + (u,v) = (x+u, y+v) $. Siis reaaliosat lasketaan yhteen ja imaginääriosat lasketaan yhteen. (Vertaa vektorien yhteenlaskuun)

Vähennyslasku on myös määritelty samoin kuin vektoreilla: $ (x,y) - (u,v) = (x,y) + (-1)*(u,v) = (x-u, y-v) $.

Kompleksiluvun kertominen toisella näyttää aluksi hiukan omituiselta: $ (x,y) * (u,v) = (xu - yv, yu + xv) $.

Määritelmästä voidaan osoittaa, että kompleksiluvuilla muotoa $ (x,0) $ pätevät reaalilukujen aksioomat, joten voidaan samaistaa $ (x,0) = x $ (reaaliluku).

Kompleksiluvun kertominen reaalivakiolla: $ a*(x,y) = (a,0)*(x,y) = (ax-0y,0x+ay) = (ax, ay) $. Siis reaaliosa ja imaginääriosa kerrotaan molemmat samalla vakiolla.

Kompleksiluvulle $ (0,1) $ annetaan erityisnimi: $ i = (0,1) $. Erityisesti: $ i^2 = (0,1)*(0,1) = (0*0-1*1, 0*1+0*1) = (-1, 0) = -1 $.

Muodostuu uusi tapa ilmaista kompleksilukuja: $ (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + y*(0,1) = x + yi $.

Tämä selittää kompleksilukujen oudolta näyttävän kertolaskusäännön: $ (a,b)*(c,d) = (a+bi)*(c+di) = ac+bci+adi+i^2bd = ac-bd + i(bc+ad) = (ac-bd, bc+ad) $ Kompleksiluvuilla lasketaan siis aivan samoin kuin reaaliluvuilla, kunhan muistetaan, että $ i^2 = -1 $.

Napakoordinaattimuoto

Tason pisteellä $ z = (x,y) $ on esitys $ z = (x,y) = (r*\cos{\alpha}, r*\sin{\alpha}) $, jossa r on pisteen etäisyys origosta: $ r = |z| = \sqrt{x^2+y^2} $ ja $ \alpha $ on kompleksiluvun argumentti $ \in ]-\pi, \pi] $. Siis $ z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin{\alpha}) $.

Määritellään eksponenttifunktio kompleksiluvusta: $ e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos{y} + i \sin{y}) $. Voidaan osoittaa, että näin määritelty eksponenttifunktio toteuttaa samat eksponenttifunktion laskusäännöt kuin reaalilukujen eksponenttifunktio. Saadaan Eulerin kaava $ e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x} $.

Näin ollen napakoordinaattimuodossa $ z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin {\alpha}) = r e^{i \alpha} $.

De Moivren kaavaksi kutsutaan laskusääntöä $ (\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx)\ $ eli $ (e^(ix))^n = e^(inx)\ $.

On syytä huomata, että $ e^z = e^{x+yi} = e^x e^{yi} = e^x (\cos {y} + i \sin {y}) = e^x (\cos{(y+2n\pi)} + i \sin{(y+2n\pi)}) = e^x e^{iy + i 2n\pi} = e^{z + i 2n\pi}\ $ kokonaisluvuille n.