Funktioteoria

Olen yrittänyt kerätä tähän joitain kompleksilukujen alkeita tiivistettynä. Jos ymmärrät merkinnät, voi olla parempi kokeilla näitä: http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf, http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf. -- Make

Kompleksilukujen perusasiat

• Kompleksiluku on reaalilukupari $ (x,y) $, ja se voidaan samaistaa tason pisteen kanssa. Reaaliosa (x) kertoo pisteen x-koordinaatin ja imaginääriosa (y) kertoo y-koordinaatin.

• Kompleksiluvut (x,y) ja (x',y') ovat samat, jos ne ovat sama piste; x-koordinaatit ovat samat ja y-koordinaatit ovat samat, x=x' ja y=y'

• Kompleksiluvuille ei ole määritelty suuruusjärjestystä.

• Kompleksiluvuille on määritelty yhteenlasku samalla tavalla kuin vektoreille: $ (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y') $. Reaaliosat lasketaan yhteen ja imaginääriosat lasketaan yhteen.

• Kompleksiluvun kertominen toisella saattaa näyttää aluksi hiukan omituiselta: $ (x,y) * (x',y') = (x' x - y' y, x' y + y' x) $.

• Vähennyslasku on myös määritelty samoin kuin vektoreilla: $ (x,y) - (x',y') = (x,y) + (-1)*(x',y') = (x-x', y-y') $.

• Määritelmästä voidaan osoittaa, että kompleksiluvuilla muotoa $ (x,0) $ pätevät reaalilukujen aksioomat, joten voidaan samaistaa $ (x,0) = x $ (reaaliluku).

• Kompleksiluvun kertominen reaalivakiolla: $ a*(x,y) = (a,0)*(x,y) = (ax-0y,0x+ay) = (ax, ay) $. Siis reaaliosa ja imaginääriosa kerrotaan molemmat samalla vakiolla.

• Kompleksiluvulle $ (0,1) $ annetaan erityisnimi: $ i = (0,1) $. Erityisesti: $ i^2 = (0,1)*(0,1) = (0*0-1*1, 0*1+0*1) = (-1, 0) = -1 $.

• Muodostuu uusi tapa ilmaista kompleksilukuja: $ (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + y*(0,1) = x + yi $.

• Tämä selittää kompleksilukujen kertolaskusäännön: $ (a,b)*(c,d) = (a+bi)*(c+di) = ac+bci+adi+i^2bd = ac-bd + i(bc+ad) = (ac-bd, bc+ad) $ Kompleksiluvuilla lasketaan siis aivan samoin kuin reaaliluvuilla, kunhan muistetaan, että $ i^2 = -1 $.

Napakoordinaattimuoto

• Tason pisteellä $ z = (x,y) $ on esitys $ z = (x,y) = (r \cos{\alpha}, r \sin{\alpha}) $, jossa r on pisteen etäisyys origosta: $ r = |z| = \sqrt{x^2+y^2} $ ja $ \alpha $ on kompleksiluvun argumentti $ \in ]-\pi, \pi] $. Siis $ z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin{\alpha}) $.

• Polaarimuodossa olevat kompleksiluvut ovat samat, kun niiden pituudet ovat samat, ja kulmat, argumentit ovat samat..

• Kerrotaan kaksi polaarimuotoista kompleksilukua keskenään:

$ r_1 (\cos{\alpha_1} + i \sin{\alpha_1}) * r_2 (\cos{\alpha_2} + i \sin{\alpha_2}) $ $ = r_1 r_2 (\cos{\alpha_1}\cos{\alpha_2} - \sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2} + i( \sin{\alpha_1}\cos{\alpha_2} + \sin{\alpha_2}\cos{\alpha_1})) $ $ = r_1 r_2 (\cos{(\alpha_1 + \alpha_2)} + i \sin {(\alpha_1 + \alpha_2)}) $

• Kompleksilukujen tulossa siis uusi pituus on vanhojen tulo, ja uusi kulma on vanhojen summa.

• Määritellään eksponenttifunktio kompleksiluvusta: $ e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos{y} + i \sin{y}) $. Voidaan osoittaa, että näin määritelty eksponenttifunktio toteuttaa samat eksponenttifunktion laskusäännöt kuin reaalilukujen eksponenttifunktio. Saadaan Eulerin kaava $ e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x} $.

• Näin ollen napakoordinaattiesitys saa muodon $ z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin {\alpha}) = r e^{i \alpha} $.

• On huomattava, että $ e^z = e^{x+yi} = e^x e^{yi} = e^x (\cos {y} + i \sin {y}) = e^x (\cos{(y+2n\pi)} + i \sin{(y+2n\pi)}) = e^x e^{iy + i 2n\pi} = e^{z + i 2n\pi}\ $ kokonaisluvuille n.

• De Moivren kaavaksi kutsutaan laskusääntöä $ (\cos x + i \sin x)^n = \cos{nx} + i \sin{nx}\ $ eli $ (e^{ix})^n = e^{inx}\ $, jolla lasketaan myös kompleksilukujen juuret:

• Kompleksiluvun n:s juuri on moniarvoinen, ja se ratkaistaan yhtälöstä $ z^n = w $. Jos $ z = r_1 e^{i \phi} $ ja $ w = r_2 e^{i \alpha} $, tehtäväksi jää etsiä yhtälön $ r_1^n e^{i n \phi} = r_2 e^{i \alpha} $ juuret, joita on n kappaletta, ja jotka saa kaivettua polaarimuodossa olevien kompleksilukujen yhtäsuuruusehdosta. ($ n \phi = \alpha + k 2\pi $)

Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)