Pizzakisa

Pizzakisa on perinteinen matematiikan yössä järjestettävä joukkuekilpailu, jossa jokainen osallistuja palkitaan suuremmalla tai pienemmällä palalla pizzaa, sijoituksesta riippuen.

On huomattavaa, että jokainen joukkue saa yhtä paljon pizzaa kuin kaikki huonommin menestyneet ja tuomarit yhteensä.

Palkintopizzan määrä

Jokainen joukkue saa yhtä paljon pizzaa kuin kaikki huonommin menestyneet ja tuomarit yhteensä. Siten pizzan suhteellinen määrä joukkuetta kohden saadaan kaavasta:

$ \operatorname{P_r}(s,m) = \begin{cases} 1 + \sum\limits_{i=s + 1}^{m} \operatorname{P_r}(i,m) & \qquad s < m \\ 1 & \qquad s = m \end{cases} $

missä $ s $ on joukkueen sijoitus väliltä $ [1,m] $ ja $ m $ joukkueiden määrä, olettaen että tuomarit saavat saman verran pizzaa kuin huonoiten menestynyt joukkue. Absoluuttinen pizzan määrä joukkueelle on silloin

$ \operatorname{P_a}(s,m) = {\frac{\operatorname{P_r}(s,m)}{1 + \sum\limits_{i=1}^{m} \operatorname{P_r}(i,m)}} \times \operatorname{P_{kok}} $

missä $ \operatorname{P_{kok}} $ on pizzan kokonaismäärä.

On havaittava, että pizzan suhteellinen määrä huonoiten suoriutuneesta joukkueesta alkaen on geometrinen sarja:

$ \operatorname{P_r}(m,m) = 1 \\ \operatorname{P_r}(m - 1,m) = 2 \\ \operatorname{P_r}(m - 2,m) = 4 \\ \operatorname{P_r}(m - 3,m) = 8 \\ \operatorname{P_r}(m - 4,m) = 16 $

Siten pizzan suhteellisten määrien summa on

$ 1 + \sum\limits_{i=1}^{m} \operatorname{P_r}(i,m) = 1 + \sum\limits_{i=1}^{m} 2^{i-1} $

ja pizzan absoluuttisen määrän yhtälö voidaan yksinkertaistaa muotoon

$ \operatorname{P_a}(s,m) = {\frac{2^{m-s}}{1 + \sum\limits_{i=1}^{m} 2^{i-1}}} \times \operatorname{P_{kok}} = {\frac{2^{m-s}}{2^m}} \times \operatorname{P_{kok}} = \frac{\operatorname{P_{kok}}}{2^s} $

Voidaan vielä jättää pois $ m $, jolloin saadaan pizzan määrän lopullinen kaava

$ \operatorname{P_a}(s) = \frac{\operatorname{P_{kok}}}{2^s} $

Pizzakisan tuloksia

• 2007/2: Sanna Naapuri, Tuomas Kyheröinen, ja Markus Puumalainen
• 2007/1: Oskari Lehto, Markus Puumalainen, ja jotain muita
• 2006/2: Annika Piiroinen, Ossi Ahola, Ossi Väre
• 2006/1: Esa Vesalainen ja Ossi Ottka