Sivujen muokkaaminen vaatii nykyään kirjautumisen. Jos sinulla ei vielä ole tunnuksia, luo sellaiset.

Ero sivun ”Funktioteoria” versioiden välillä

Primayk
Loikkaa: valikkoon, hakuun
p
p (luokka)
 
(12 välissä olevaa versiota 6 käyttäjän tekeminä ei näytetä)
Rivi 1: Rivi 1:
 +
Fraktaaleja koskeva Power Point ei valitettavasti suostu latautumaan primaykiin. [http://primayk.mayk.fi/index.php?title=Keskustelu_k%C3%A4ytt%C3%A4j%C3%A4st%C3%A4:Ville_Tilvis&action=edit&section=new Kyselkää Villeltä].
 +
jos haluatte sen. --[[Ville Tilvis|Ville]]
 +
 +
Olen yrittänyt kerätä tähän joitain kompleksilukujen alkeita tiivistettynä. Jos ymmärrät merkinnät, voi olla parempi kokeilla näitä: [http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf], [http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf]. -- [[Markus Kettunen|Make]]
 +
 
== Kompleksilukujen perusasiat ==
 
== Kompleksilukujen perusasiat ==
  
Kompleksiluku on reaalilukupari <math>(x,y)</math> (järjestyksellä on merkitystä) siinä missä tason pisteet ja vektoritkin. Onkin täysin korrektia ja suositeltavaa ajatella kompleksilukuja tason pisteinä siinä missä reaalilukuja lukusuoran pisteinä. Reaaliosa (x) kertoo pisteen x-koordinaatin ja imaginääriosa (y) kertoo y-koordinaatin.
 
  
Kompleksiluvut (x,y) ja (u,v) ovat samat, (x,y) = (u,v) jos ja vain jos niiden reaaliosat ovat samat ja imaginääriosat ovat samat, x=u ja y=v. (Pisteiden x-koordinaatit ovat samat ja y-koordinaatit ovat samat).
+
* Kompleksiluku on reaalilukupari <math>(x,y)</math>, ja se voidaan samaistaa tason pisteen kanssa. Reaaliosa (x) kertoo pisteen x-koordinaatin ja imaginääriosa (y) kertoo y-koordinaatin.
  
Kompleksiluvuille ei ole määritelty suuruusjärjestystä.
+
* Kompleksiluvut (x,y) ja (x',y') ovat samat, jos ne ovat sama piste; x-koordinaatit ovat samat ja y-koordinaatit ovat samat, x=x' ja y=y'
  
Kompleksiluvuille on määritelty yhteenlasku seuraavasti: <math>(x,y) + (u,v) = (x+u, y+v)</math>. Siis reaaliosat lasketaan yhteen ja imaginääriosat lasketaan yhteen. (Vertaa vektorien yhteenlaskuun)
+
* Kompleksiluvuille ei ole määritelty suuruusjärjestystä.
  
Vähennyslasku on myös määritelty samoin kuin vektoreilla: <math>(x,y) - (u,v) = (x,y) + (-1)*(u,v) = (x-u, y-v)</math>.
+
* Kompleksiluvuille on määritelty yhteenlasku samalla tavalla kuin vektoreille: <math>(x,y) + (x',y') = (x+x', y+y')</math>. Reaaliosat lasketaan yhteen ja imaginääriosat lasketaan yhteen.
  
Kompleksiluvun kertominen toisella näyttää aluksi hiukan omituiselta: <math>(x,y) * (u,v) = (xu - yv, yu + xv)</math>.
+
* Kompleksiluvun kertominen toisella saattaa näyttää aluksi hiukan omituiselta: <math>(x,y) * (x',y') = (x' x - y' y, x' y + y' x)</math>.
  
Määritelmästä voidaan osoittaa, että kompleksiluvuilla muotoa <math>(x,0)</math> pätevät [[reaalilukujen aksioomat]], joten voidaan samaistaa <math>(x,0) = x</math> (reaaliluku).
+
* Vähennyslasku on myös määritelty samoin kuin vektoreilla: <math>(x,y) - (x',y') = (x,y) + (-1)*(x',y') = (x-x', y-y')</math>.
  
Kompleksiluvun kertominen reaalivakiolla: <math>a*(x,y) = (a,0)*(x,y) = (ax-0y,0x+ay) = (ax, ay)</math>. Siis reaaliosa ja imaginääriosa kerrotaan molemmat samalla vakiolla.
+
* Voidaan osoittaa, että kompleksiluvut muotoa <math>(x,0)</math> käyttäytyvät täysin samoin kuin reaaliluvut. Voidaan samaistaa <math>(x,0) = x</math> (reaaliluku).
  
Kompleksiluvulle <math>(0,1)</math> annetaan erityisnimi: <math>i = (0,1)</math>. Erityisesti: <math>i^2 = (0,1)*(0,1) = (0*0-1*1, 0*1+0*1) = (-1, 0) = -1</math>.
+
* Kompleksiluvun kertominen reaalivakiolla: <math>a*(x,y) = (a,0)*(x,y) = (ax-0y,0x+ay) = (ax, ay)</math>. Siis reaaliosa ja imaginääriosa kerrotaan molemmat samalla vakiolla.
  
Muodostuu uusi tapa ilmaista kompleksilukuja: <math>(x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + y*(0,1) = x + yi</math>.
+
* Kompleksiluvulle <math>(0,1)</math> annetaan erityisnimi: <math>i = (0,1)</math>. Erityisesti: <math>i^2 = (0,1)*(0,1) = (0*0-1*1, 0*1+0*1) = (-1, 0) = -1</math>.
 +
 
 +
* Muodostuu uusi tapa ilmaista kompleksilukuja: <math>(x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + y*(0,1) = x + yi</math>.
 +
 
 +
* Tämä selittää kompleksilukujen kertolaskusäännön: <math>(a,b)*(c,d) = (a+bi)*(c+di) = ac+bci+adi+i^2bd = ac-bd + i(bc+ad) = (ac-bd, bc+ad)</math> Kompleksiluvuilla lasketaan siis aivan samoin kuin reaaliluvuilla, kunhan muistetaan, että <math>i^2 = -1</math>.
  
Tämä selittää kompleksilukujen oudolta näyttävän kertolaskusäännön: <math>(a,b)*(c,d) = (a+bi)*(c+di) = ac+bci+adi+i^2bd = ac-bd + i(bc+ad) = (ac-bd, bc+ad)</math> Kompleksiluvuilla lasketaan siis aivan samoin kuin reaaliluvuilla, kunhan muistetaan, että <math>i^2 = -1</math>.
 
  
 
=== Napakoordinaattimuoto ===
 
=== Napakoordinaattimuoto ===
  
Tason pisteellä <math>z = (x,y)</math> on esitys <math>z = (x,y) = (r*\cos{\alpha}, r*\sin{\alpha})</math>, jossa r on pisteen etäisyys origosta: <math>r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> ja <math>\alpha</math> on kompleksiluvun ''argumentti'' <math> \in ]-\pi, \pi]</math>. Siis <math>z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin{\alpha})</math>.
+
* Tason pisteellä <math>z = (x,y)</math> on esitys <math>z = (x,y) = (r \cos{\alpha}, r \sin{\alpha})</math>, jossa r on pisteen etäisyys origosta: <math>r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> ja <math>\alpha</math> on kompleksiluvun ''argumentti'' <math> \in ]-\pi, \pi]</math>. Siis <math>z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin{\alpha})</math>.
  
Määritellään eksponenttifunktio kompleksiluvusta: <math>e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos{y} + i \sin{y})</math>. Voidaan osoittaa, että näin määritelty eksponenttifunktio toteuttaa samat eksponenttifunktion laskusäännöt kuin reaalilukujen eksponenttifunktio. Saadaan ''Eulerin kaava'' <math>e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x}</math>.
+
* ''Polaarimuodossa'' olevat kompleksiluvut ovat samat, kun niiden pituudet ovat samat, ja kulmat, ''argumentit'' ovat samat.
  
Näin ollen napakoordinaattimuodossa <math>z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin {\alpha}) = r e^{i \alpha}</math>.
+
* Kerrotaan kaksi ''polaarimuotoista'' kompleksilukua keskenään:
 +
<math>r_1 (\cos{\alpha_1} + i \sin{\alpha_1}) * r_2 (\cos{\alpha_2} + i \sin{\alpha_2})</math>
 +
<math>= r_1 r_2 (\cos{\alpha_1}\cos{\alpha_2} - \sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2} + i( \sin{\alpha_1}\cos{\alpha_2} + \sin{\alpha_2}\cos{\alpha_1}))</math>
 +
<math>= r_1 r_2 (\cos{(\alpha_1 + \alpha_2)} + i \sin {(\alpha_1 + \alpha_2)}) </math>
  
''De Moivren kaavaksi'' kutsutaan laskusääntöä <math>(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx)\ </math> eli <math>(e^(ix))^n = e^(inx)\ </math>.
+
* Kompleksilukujen tulossa siis uusi pituus on vanhojen tulo, ja uusi kulma on vanhojen summa.
  
On syytä huomata, että <math>e^z = e^{x+yi} = e^x e^{yi} = e^x (\cos {y} + i \sin {y}) = e^x (\cos{(y+2n\pi)} + i \sin{(y+2n\pi)}) = e^x e^{iy + i 2n\pi} = e^{z + i 2n\pi}\ </math> kokonaisluvuille n.
+
 
 +
* Määritellään eksponenttifunktio kompleksiluvusta: <math>e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos{y} + i \sin{y})</math>. Voidaan osoittaa, että näin määritelty eksponenttifunktio toteuttaa samat eksponenttifunktion laskusäännöt kuin reaalilukujen eksponenttifunktio. Saadaan ''Eulerin kaava'' <math>e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x}</math>.
 +
 
 +
* Näin ollen napakoordinaattiesitys saa muodon <math>z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin {\alpha}) = r e^{i \alpha}</math>.
 +
 
 +
* On huomattava, että <math>e^z = e^{x+yi} = e^x e^{yi} = e^x (\cos {y} + i \sin {y}) = e^x (\cos{(y+2n\pi)} + i \sin{(y+2n\pi)}) = e^x e^{iy + i 2n\pi} = e^{z + i 2n\pi}\ </math> kokonaisluvuille n.
 +
 
 +
* ''De Moivren kaavaksi'' kutsutaan laskusääntöä <math>(\cos x + i \sin x)^n = \cos{nx} + i \sin{nx}\ </math> eli <math>(e^{ix})^n = e^{inx}\ </math>, jolla lasketaan myös kompleksilukujen juuret:
 +
 
 +
* Kompleksiluvun n:s juuri on moniarvoinen, ja se ratkaistaan yhtälöstä <math>z^n = w</math>. Jos <math>z = r_1 e^{i \phi}</math> ja <math>w = r_2 e^{i \alpha}</math>, tehtäväksi jää etsiä yhtälön <math>r_1^n e^{i n \phi} = r_2 e^{i \alpha}</math> juuret, joita on n kappaletta, ja jotka saa kaivettua polaarimuodossa olevien kompleksilukujen yhtäsuuruusehdosta. (<math>n \phi = \alpha + k 2\pi</math>)
  
  
 
Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)
 
Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)
 +
 +
[[Luokka:Matematiikka]]

Nykyinen versio 22. elokuuta 2015 kello 15.09

Fraktaaleja koskeva Power Point ei valitettavasti suostu latautumaan primaykiin. Kyselkää Villeltä. jos haluatte sen. --Ville

Olen yrittänyt kerätä tähän joitain kompleksilukujen alkeita tiivistettynä. Jos ymmärrät merkinnät, voi olla parempi kokeilla näitä: http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/ft/Funktioteoria.pdf, http://mathstat.helsinki.fi/~smy/olympia/kirjallisuus/kompl03.pdf. -- Make

Kompleksilukujen perusasiat

  • Kompleksiluku on reaalilukupari $ (x,y) $, ja se voidaan samaistaa tason pisteen kanssa. Reaaliosa (x) kertoo pisteen x-koordinaatin ja imaginääriosa (y) kertoo y-koordinaatin.
  • Kompleksiluvut (x,y) ja (x',y') ovat samat, jos ne ovat sama piste; x-koordinaatit ovat samat ja y-koordinaatit ovat samat, x=x' ja y=y'
  • Kompleksiluvuille ei ole määritelty suuruusjärjestystä.
  • Kompleksiluvuille on määritelty yhteenlasku samalla tavalla kuin vektoreille: $ (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y') $. Reaaliosat lasketaan yhteen ja imaginääriosat lasketaan yhteen.
  • Kompleksiluvun kertominen toisella saattaa näyttää aluksi hiukan omituiselta: $ (x,y) * (x',y') = (x' x - y' y, x' y + y' x) $.
  • Vähennyslasku on myös määritelty samoin kuin vektoreilla: $ (x,y) - (x',y') = (x,y) + (-1)*(x',y') = (x-x', y-y') $.
  • Voidaan osoittaa, että kompleksiluvut muotoa $ (x,0) $ käyttäytyvät täysin samoin kuin reaaliluvut. Voidaan samaistaa $ (x,0) = x $ (reaaliluku).
  • Kompleksiluvun kertominen reaalivakiolla: $ a*(x,y) = (a,0)*(x,y) = (ax-0y,0x+ay) = (ax, ay) $. Siis reaaliosa ja imaginääriosa kerrotaan molemmat samalla vakiolla.
  • Kompleksiluvulle $ (0,1) $ annetaan erityisnimi: $ i = (0,1) $. Erityisesti: $ i^2 = (0,1)*(0,1) = (0*0-1*1, 0*1+0*1) = (-1, 0) = -1 $.
  • Muodostuu uusi tapa ilmaista kompleksilukuja: $ (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + y*(0,1) = x + yi $.
  • Tämä selittää kompleksilukujen kertolaskusäännön: $ (a,b)*(c,d) = (a+bi)*(c+di) = ac+bci+adi+i^2bd = ac-bd + i(bc+ad) = (ac-bd, bc+ad) $ Kompleksiluvuilla lasketaan siis aivan samoin kuin reaaliluvuilla, kunhan muistetaan, että $ i^2 = -1 $.


Napakoordinaattimuoto

  • Tason pisteellä $ z = (x,y) $ on esitys $ z = (x,y) = (r \cos{\alpha}, r \sin{\alpha}) $, jossa r on pisteen etäisyys origosta: $ r = |z| = \sqrt{x^2+y^2} $ ja $ \alpha $ on kompleksiluvun argumentti $ \in ]-\pi, \pi] $. Siis $ z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin{\alpha}) $.
  • Polaarimuodossa olevat kompleksiluvut ovat samat, kun niiden pituudet ovat samat, ja kulmat, argumentit ovat samat.
  • Kerrotaan kaksi polaarimuotoista kompleksilukua keskenään:

$ r_1 (\cos{\alpha_1} + i \sin{\alpha_1}) * r_2 (\cos{\alpha_2} + i \sin{\alpha_2}) $ $ = r_1 r_2 (\cos{\alpha_1}\cos{\alpha_2} - \sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2} + i( \sin{\alpha_1}\cos{\alpha_2} + \sin{\alpha_2}\cos{\alpha_1})) $ $ = r_1 r_2 (\cos{(\alpha_1 + \alpha_2)} + i \sin {(\alpha_1 + \alpha_2)}) $

  • Kompleksilukujen tulossa siis uusi pituus on vanhojen tulo, ja uusi kulma on vanhojen summa.


  • Määritellään eksponenttifunktio kompleksiluvusta: $ e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos{y} + i \sin{y}) $. Voidaan osoittaa, että näin määritelty eksponenttifunktio toteuttaa samat eksponenttifunktion laskusäännöt kuin reaalilukujen eksponenttifunktio. Saadaan Eulerin kaava $ e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x} $.
  • Näin ollen napakoordinaattiesitys saa muodon $ z = r\ (\cos{\alpha} + i \sin {\alpha}) = r e^{i \alpha} $.
  • On huomattava, että $ e^z = e^{x+yi} = e^x e^{yi} = e^x (\cos {y} + i \sin {y}) = e^x (\cos{(y+2n\pi)} + i \sin{(y+2n\pi)}) = e^x e^{iy + i 2n\pi} = e^{z + i 2n\pi}\ $ kokonaisluvuille n.
  • De Moivren kaavaksi kutsutaan laskusääntöä $ (\cos x + i \sin x)^n = \cos{nx} + i \sin{nx}\ $ eli $ (e^{ix})^n = e^{inx}\ $, jolla lasketaan myös kompleksilukujen juuret:
  • Kompleksiluvun n:s juuri on moniarvoinen, ja se ratkaistaan yhtälöstä $ z^n = w $. Jos $ z = r_1 e^{i \phi} $ ja $ w = r_2 e^{i \alpha} $, tehtäväksi jää etsiä yhtälön $ r_1^n e^{i n \phi} = r_2 e^{i \alpha} $ juuret, joita on n kappaletta, ja jotka saa kaivettua polaarimuodossa olevien kompleksilukujen yhtäsuuruusehdosta. ($ n \phi = \alpha + k 2\pi $)


Joku voisi joskus jaksaa jatkaa tämän loppuun. :)